M

Vyřešte rovnici

$2^{3 x - 1} - 3^{2 x + 1} = 0$

Co uděláme jako první?

Zlogaritmujeme rovnici

Vynásobíme rovnici číslem -1

Přičteme $3^{2 x + 1}$

Zlogaritmováním rovnice bychom si nepomohli. Převedli bychom ji do tvaru

$\log (... - ...) = \log (0)$

Logaritmus z rozdílu nelze dále jednoduše upravit a $\log (0)$ není definován.

Tato úprava by nic podstatného nepřinesla.

Ano, přičtením $3^{2 x + 1}$ získáme rovnici ve tvaru

$2^{3 x - 1} = 3^{2 x + 1}$ ,

kde můžeme obě strany rovnice zlogaritmovat a tím převedeme proměnou z exponentu.

Co dostaneme po zlogaritmování rovnice?

$\log (2) \log (3 x - 1) = \log (3) \log (2 x + 1)$

$(3 x - 1) \log (2) = (2 x + 1) \log (3)$

$\log (2) + 3 x - 1 = \log (3) + 2 x + 1$

$2 \log (3 x - 1) = 3 \log (2 x + 1)$

Ne. Vzorec pro logaritmus z exponenciální funkce je tento: $\log (a^{b}) = b \cdot \log (a)$

Ano, protože pro logaritmus z exponenciální funkce platí: $\log (a^{b}) = b \cdot \log (a)$

Jak budeme postupovat dále?

Roznásobíme závorky a výrazy s proměnnou $x$ převedeme na levou stranu, výrazy bez proměnné $x$ převedeme na pravou stranu rovnice

Vydělíme rovnici výrazy $\log (2)$ a $(2 x + 1)$ ; tím na levě straně budeme mít výrazy s proměnnou $x$ a na pravé straně rovnce výrazy bez proměnné $x$

Vyškrtneme z rovnice $\log$ aby rovnice neobsahovala logaritmy

Ano, správně! To je nejrychlejší postup.

Tato úprava je možná, ale získali bychom tím rovnici ve tvaru $\frac{3 x - 1}{2 x + 1} = \frac{\log (3)}{\log (2)}$ , kde nelze jednoduše vyjádřit proměnnou $x$ .

Ne, logaritmus je funkce. Nelze "vydělit" či "zkrátit" pouze symbol $\log$ .

$3 x \cdot \log (2) - \log (2) = 2 x \cdot \log (3) + \log (3)$

$3 x \cdot \log (2) - 2 x \cdot \log (3) = \log (2) + \log (3)$

A co dál?

Toto je výsledek, rovnici již nelze dál upravovat

Vytkneme $x$ na levé straně rovnice

Rovnici vydělíme $6 x$

Tak to není, rovnici lze upravit do tvaru $x = ...$

Ano, to nám umožní převést rovnici do tvaru $x = ...$

Tím bychom si nijak nepomohli.

$x \cdot (3 \log (2) - 2 \log (3)) = \log (2) + \log (3)$

Rovnici vydělíme výrazem $(3 \log (2) - 2 \log (3))$ a dostaneme:

$x = \frac{\log (2) + \log (3)}{3 \log (2) - 2 \log (3)}$

Tím jsme rovnici vyřešili. Na pravé staně jsou jen konstanty (logaritmy z konkrétních čísel).

Pokud bychom chtěli dopočítat numericky, tak $x = \frac{0.7782}{-0.0512} = -15.212$

Logaritmická rovnice 1